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Resumen:
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La tesis se divide en dos partes. El tema central es el análisis de la estadística de las fluctuaciones espectrales en distintos sistemas en el contexto del caos cuántico. En la primera parte se estudian sistemas de partículas idénticas sin interacción. El análisis se realiza mediante la utilización de los estadísticos habituales en caos cuántico, llegando a la conclusión de que los espectros de estos sistemas son de tipo integrable independientemente de cuál sea el tipo de espectro de una partícula. Se observa una rápida evolución tanto con la energía como con el número de partículas, aunque queda siempre una pequeña reminiscencia del espectro de una partícula, cuando este es de tipo caótico, observable en las correlaciones de largo alcance. En la segunda parte se introduce una interacción a dos cuerpos aleatoria a través de un parámetro de control que permite pasar gradualmente del sistema sin interacción al sistema con la interacción a dos cuerpos (las colectividades de matrices utilizadas son las denominadas colectividades embebidas). En esta parte se estudian las matrices hamiltonianas en forma tridiagonal; debido a su simplicidad respecto a la forma de las matrices originales su manejo puede ser muy ventajoso tanto analítica como computacionalmente y existen precedentes establecidos en trabajos anteriores. Así, analizando la relación entre la forma de las colectividades tridiagonales (caracterizadas por una parte suave, fluctuaciones y correlaciones entre sus elementos) y la estadística espectral tradicional el objetivo es la construcción de un modelo de colectividades tridiagonales que reproduzca la transición entre el sistema sin interacción (integrable) y el sistema con interacción a dos cuerpos (caótico). Tras un detallado análisis de la forma de las matrices tridiagonales a lo largo de la transición se llega a una caracterización muy completa de las mismas, que permite establecer algunas relaciones entre la parte suave y fluctuaciones de los elementos de la matriz tridiagonal y la densidad de estados y estadística espectral de las colectividades originales. Sin embargo, las correlaciones entre los elementos son bastante más complicadas de modelar y por el momento, al término de la presentación de este trabajo, no se tiene una descripción lo suficientemente detallada de la estructura de correlación como para poder construir un modelo completo que reproduzca satisfactoriamente la transición. De cualquier forma este trabajo puede servir como base para continuar con el proyecto propuesto, de gran interés dada la gran ventaja que supondría disponer de un modelo tan sencillo para estas colectividades embebidas, tan complicadas de tratar en su forma habitual.
[ABSTRACT]The work is divided into two parts. The main subject is the analysis of the statistics of the spectral fluctuations in different systems in the context of Quantum Chaos. In Part One non-interacting systems are studied. The analysis is carried out by means of the usual statistics in Quantum Chaos, leading to the conclusion that these kind of spectra are integrable, regardless of the type of fluctuation properties of the single-particle spectrum. A rapid evolution is observed with the energy as well as with the number of particles, although a reminiscence of the fluctuations of the single-particle spectrum, when it is chaotic, is always present and it can be observed in the long range correlations. In Part Two a two-body random interaction is introduced by a control parameter which allows a gradual transition from the non-interacting system to the system with the two-body interaction (the matrix ensembles used are the so-called embedded ensembles). In this part we study the hamiltonian matrices in a tridiagonal form; this can be very advantageous both analytically and numerically and there are antecedents well established in previous works. Then we analyze the relation between the ensembles in tridiagonal form (characterized by smooth part, fluctuations and correlations between the elements) and the spectral statistics, and the main purpose is to construct a model of tridiagonal ensembles which reproduce the transition between the non-interacting system (integrable) and the system with a two-body interaction (chaotic). A detailed analysis of the tridiagonal form of the hamiltonian matrices along the transition leads to a very complete characterization of them, that allows us to establish some relations between the smooth part and fluctuations in the elements of the tridiagonal matrix and the level density and spectral statistics, respectively. However, correlations between the matrix elements are much more difficult to model and for the moment, at the end of the presentation of this work, we do not have a sufficiently detailed description of the correlation structure as to construct a model capable of succesfully reproducing the transition. Anyway this work can be useful as a base to continue with the proposed proyect, which is of great interest due to the important advantage that would be to have such a simple model for these ensembles, as they are so complicated to manage in their normal form.
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