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Resumen:
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En esta tesis se estudia la ecuacion de Schodinger no lineal (ESNL) en diversas variantes, contemplando aplicaciones y tecnicas matematicas generales para el analisis de estas ecuaciones de ondas. En la primera parte de la memoria se estudia la ESNL en el contexto de la condensacion de Bose-Einstein, donde este tipo de ecuaciones describen la evolucion de un condensado gaseoso diluido. En este marco se estudia la posibilidad de generar vortices en el condensado empleando procedimientos mecanicos y electro-opticos, y se realiza un estudio detallado de la estabilidad de los vortices en distintas configuraciones: condensados de una y dos componentes, sistemas con simetria radial y complementemente asimetricos y regimenes de alta y baja interacion. En la segunda parte de la memoria se estudian las ESNL que modelizan la propagacion de un conjunto de haces laser en un medio con no linealidad saturable. Analizando las ecuaciones acopladas que rigen este sistema se encuentran soluciones excitadas (esto es, que no representan un minimo de funcional de energia) con la peculariedad de ser asimetricas y extremadamente robustas. Estas soluciones reciben el nombre de "solitones vectoriales de tipo dipolo" y fisicamente corresponden a p arejas de haces de luz ligados por una interacción atractiva y con un dinamica compleja. De cara a la s aplicaciones, se realiza un estudio detallado de la interaccion entre otros dipolos y otros objetos de luz, confirmando su potencial como elementos conmutadores opticos. En la ultima parte de la tesis se desarrollan las tecnicas matematicas que han sido necesarias para la confeccion de los dos primeros aparatados. Entre los metodos estudiados destacamos en primer lugar el metodo de momentos, donde se reduce la ecuacion en derivadas parciales, a un sistema dinamico que rige la evolucion de un conjunto finito de cantidades integrales, fisicamente medibles. El segundo conjunto importante de tecnicas desarrolladas son los metodos de minimizacion basados en gradientes de Sobolev. Esta familia de metodos son tecnicas de descenso rapido, optimizadas mediante precondicionadores obtenidos de forma rigurosa, y que sirven tanto para encontrar soluciones fundamentales de ecuaciones en derivadas parciales, como para buscar soluciones excitadas, sean estables o no. Por ultimo dedicamos un capitulo a la demostracion de la existencia de resonancias en las ecuaciones de Schordinger con forzado parametrico. Estas resonancias "extensas" constituyen un fenomeno nuevo en el que la totalidad del sistema responde de forma no acotada a una perturbacion finita.
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