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Resumen:
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El espacio H(U) de funciones holomorfas en un abierto U del plano complejo ha sido siempre uno de los ejemplos clásicos en la teoría de espacios localmente convexos. Con la topología compacto-abierta, H(U) es metrizable, completo, tonelado, bornológico, etc. En cambio, si U es un abierto de un espacio de dimensión infinita, la compacto-abierta no es suficientemente fina, lo que llevó a diversos investigadores a introducir otras topologías en H(U). Esta tesis está dedicada principalmente a estudiar propiedades de la topología \tau_{\delta}, que fue definida por Coeuré y Nachbin en 1970. La primera cuestión que se considera es la metrizabilidad de H(U). Se demuestra que si U es un abierto de un espacio metrizable de dimensión infinita, entonces H(U) no es metrizable. Este resultado generaliza teoremas anteriores de Alexander, Ansemil y Ponte. A continuación se estudia la representación de H(U) como límite inductivo de espacios de Fréchet. En 2009, Ansemil, Aron y Ponte demostraron que el límite inductivo que define a \tau_{\delta} en H(E) no es numerable si E es un espacio de Banach de dimensión infinita con base de Schauder. En la tesis se prueba este mismo resultado en el caso de H(U), donde U es un abierto de un espacio normado de dimensión infinita. La tesis está dedicada también a tratar la lineabilidad de diversos conjuntos de funciones holomorfas. En el capítulo 3 se demuestra la lineabilidad de la clase de funciones enteras que no son de tipo acotado. En el capítulo 7, por su parte, se demuestra que si E es un espacio de Banach separable y D es el disco unidad abierto en el plano complejo, entonces las aplicaciones holomorfas f:D?E tales que f(D) es denso en E forman un conjunto lineable y denso. De esta forma generalizamos resultados previos de Aron, Globevnik y Rudin.
The space H(U) of all holomorphic functions on an open subset U of the complex plane has always been a classic example in the theory of locally convex spaces. Endowed with the compact-open topology, H(U) is metrizable, complete, barrelled, bornological, etc. However, if U is an open subset of an infinite dimensional space, the compact-open topology is not strong enough. Because of this, several researchers introduced other topologies on H(U). This thesis is mainly devoted to study the properties of the topology \tau_{\delta}, which was defined by Coeuré and Nachbin in 1970.The first problem that we consider is the metrizability of H(U). It is proved that if U is an open subset of a metrizable space of infinite dimension, then H(U) is not metrizable. This result generalizes previous theorems due to Alexander, Ansemil and Ponte. We next study the representation of H(U) as an inductive limit of Fréchet spaces. In 2009, Ansemil, Aron and Ponte proved that the limit which defines to \tau_{\delta} on H(E) is not countable when E is an infinite dimensional Banach space with a Schauder basis. In this thesis, we prove the analogous result for H(U), where U is an open subset of an infinite dimensional normed space. This thesis is also devoted to study the lineability of several collections of holomorphic functions. In Chapter 3, we prove the lineability of the set of entire functions of unbounded type. In addition, in Chapter 7, we show that if E is a separable Banach space and D is the open unit disc in the complex plane, then the set of holomorphic mappings f:D?E such that f(D) is dense in E is lineable and dense. Thus we generalize previous results due to Aron, Globevnik and Rudin.
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