Resumen:
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Las funciones convexas y, en particular, las funciones convexas diferenciables juegan un papel fundamental dentro del Análisis Matemático y tienen una gran cantidad de aplicaciones en otras disciplinas como la Geometría Diferencial, la teoría de EDP’S (por ejemplo, las ecuaciones de Monge-Ampère), las Dinámicas No Nineales, la Computación Cuántica o la Economía. Por tanto, es sin duda útil cualquier herramienta que permita aproximar o extender por funciones convexas diferenciables en distintos espacios de Banach. Si tenemos una función convexa y acotada en conjuntos acotados definida en un espacio de Banach con dual LUR, se sabe por los resultados de D. Azagra que esta función puede aproximarse por funciones convexas diferenciables uniformemente en todo el espacio. Sin embargo, puesto que existen ejemplos defunciones convexas continuas no acotadas en conjuntos acotados, es deseable eliminar esta restricción de la función que deseamos aproximar. En esta tesis se elimina esta restricción y se demuestra que las funciones convexas y continuas definidas en abiertos convexos de espacios de Banach con dual LUR, pueden aproximarse uniformemente por funciones convexas diferenciables uniformemente en todo el espacio. Esto es consecuencia de un resultado más general que muestra que el problema de aproximación uniforme de funciones convexas por funciones convexas de una cierta clase de diferenciabilidad puede reducirse al caso en el que las funciones a aproximar son, además, Lipschitzianas...
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