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Resumen:
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Esta Tesis Doctoral estudia la existencia, multiplicidad y estabilidad de soluciones de un problema elíptico semilineal planteado en un dominio acotado de R^N, con un peso delante de la nolinealidad que cambia de signo y con condiciones de Dirichlet no homogéneas en su frontera. En el Capítulo 1 se presenta un resultado de multiplicidad elevada en dimensión 1 con el peso constante a trozos, obtenido con técnicas de diagramas de fases y un análisis exhaustivo de aplicaciones de Poincaré. Además se determina la estructura y se demuestran las principales propiedades cualitativas de los diagramas de bifurcación subyacentes, usando para ello la amplitud de la parte superlineal como parámetro. En el Capítulo 2 se estudia el caso general con pesos arbitrarios en cualquier dimensión. Se prueba, con métodos de continuación y la identidad de Picone, que la única solución estable del modelo es la minimal, que para valores grandes del parámetro de bifurcación no hay soluciones y, con técnicas de tipo topológico, que, en presencia de cotas a priori, salvo en el punto de retorno maximal, si hay una solución, entonces debe haber, al menos, dos. En el Capítulo 3 se presentan los diagramas de bifurcación relativos al Capítulo 1, computados numéricamente con métodos de continuación. Para obtenerlos, ha sido necesario adaptar los algoritmos de continuación existentes para solventar los problemas computacionales relacionados con la complejidad de los diagramas y sus propiedades cuantitativas. Sólo entonces ha sido posible computar numéricamente tales diagramas para pesos más generales que los del Capítulo 1, constatándose que se cumplen patrones similares de multiplicidad elevada, aunque la estructura topológica del diagrama puede variar dramáticamente. Estos resultados pueden tener importantes aplicaciones en Ecología, ya que la ecuación modela los estados estacionarios de una especie cuyos individuos compiten en unas zonas del territorio, mientras que cooperan en otras.
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